2016年数学二考研真题,2016年数学二考研真题及答案
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绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学本试卷共 23 题,共 150 分,共 4 页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在
条形码区域内。
2.选择题必须使用 2B铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答, 超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共 12小题,每小题 5 分,共 60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 1 2i1 2i
A. 4 3 i5 5
B.4 3
i5 5
C.3 4
i5 5
D.3 4
i5 5
2.已知集合 2 2{( , ) | 3, ,A x y x y x yZ Z} ,则 A中元素的个数为
A.9 B.8 C.5 D.4
3.函数 2e e( )
x x
f xx
的图象大致为
4.已知向量 a, b满足 | | 1a , 1a b ,则 (2 )a a b
A.4 B.3 C.2 D.0
5.双曲线2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的离心率为 3,则其渐近线方程为
A. 2y x B. 3y x C. 22
y x D. 32
y x
6.在 ABC△ 中, 5cos2 5C
, 1BC , 5AC ,则 AB
A. 4 2 B. 30 C. 29 D. 2 5
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7.为计算 1 1 1 1 112 3 4 99 100
S ,设计了右侧的层
序框图,则在空白框中应填入
A. 1i iB. 2i iC. 3i iD. 4i i
8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果. 哥德巴赫猜想是"每
个大于 2的偶数可以表示为两个素数的和",如 30 7 23.在不超过 30的素数中,随
机选取两个不同的数,其和等于 30 的概率是
A. 112
B. 114
C. 115
D. 118
9.在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中, 1AB BC , 1 3AA ,则异面直线 1AD 与 1DB 所成角
的余弦值为
A. 15
B. 56
C. 55
D. 22
10.若 ( ) cos sinf x x x在 [ , ]a a 是减函数,则 a的最大值是
A. π4
B. π2
C. 3π4
D. π
11.已知 ( )f x 是定义域为 ( , )的奇函数,满足 (1 ) (1 )f x f x .若 (1) 2f ,
则 (1) (2) (3) (50)f f f fA. 50 B.0 C.2 D.50
12.已知 1F , 2F 是椭圆2 2
2 2 1( 0)x y
C a ba b: 的左,右焦点, A是 C 的左顶点,点 P在
过 A且斜率为 36的直线上, 1 2PF F△ 为等腰三角形, 1 2 120F F P ,则 C 的离心率为
A. 23
B. 12
C. 13
D. 14
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5分,共 20分。13.曲线 2ln( 1)y x 在点 (0, 0) 处的切线方程为 __________.
14.若 ,x y满足约束条件2 5 0,2 3 0,5 0,
x yx yx
≥
≥
≤
则 z x y的最大值为 __________.
15.已知 sin cos 1α β , cos sin 0α β ,则 sin( )α β __________.
开始
0, 0N T
S N T
S输出
1i
100i
1N Ni
11
T Ti
结束
是 否
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16.已知圆锥的顶点为 S,母线 SA,SB所成角的余弦值为 78,SA与圆锥底面所成角为 45°,
若 SAB△ 的面积为 5 15 ,则该圆锥的侧面积为 __________.
三、解答题: 共 70 分。解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 第 17~21题为必考题,
每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题。考生根据要求作答。
(一)必考题:共 60分。
17.(12 分)
记 nS 为等差数列 { }na 的前 n项和,已知 1 7a , 3 15S .
(1)求 { }na 的通项公式;
(2)求 nS ,并求 nS 的最小值.
18.(12 分)
下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y(单位:亿元)的折线图.
为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额, 建立了 y与时间变量 t 的两个线性回归
模型.根据 2000 年至 2016 年的数据(时间变量 t 的值依次为 1,2, ,17 )建立模型①:
? 30.4 13.5y t ;根据 2010 年至 2016 年的数据(时间变量 t 的值依次为 1, 2, , 7)建立模
型②: ? 99 17.5y t.
(1)分别利用这两个模型,求该地区 2018年的环境基础设施投资额的预测值;
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.
19.(12 分)
设抛物线 2 4C y x: 的焦点为 F ,过 F 且斜率为 ( 0)k k 的直线 l 与 C交于 A,B两点,
| | 8AB .
(1)求 l 的方程;
(2)求过点 A, B且与 C 的准线相切的圆的方程.
20.(12 分)
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如图,在三棱锥 P ABC 中, 2 2AB BC ,
4PA PB PC AC , O为 AC 的中点.
(1)证明: PO 平面 ABC ;
(2)热点 M 在棱 BC 上,且二面角 M PA C位 30 ,
秋 PC与平面 PAM 所成角的正弦值.
21.(12 分)
已知函数 2( ) exf x ax .
(1)若 1a ,证明:当 0x≥ 时, ( ) 1f x ≥ ;
(2)若 ( )f x 在 (0, )只有一个零点,求 a.
(二)选考题:共 10分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第
一题计分。
22. [选修 4-4:坐标系与参数方程 ] (10 分)
在直角坐标系 xOy中,曲线 C 的参数方程为2cos ,4sin ,
x θy θ
(θ为参数),直线 l 的参数方
程为1 cos ,2 sin ,
x t αy t α
( t 为参数).
(1)求 C 和 l 的直角坐标方程;
(2)若曲线 C截直线 l 所得线段的中点坐标为 (1,2),求 l 的斜率.
23. [选修 4-5:不等式选讲 ]( 10分)
设函数 ( ) 5 | | | 2|f x x a x .
(1)当 1a 时,求不等式 ( ) 0f x ≥ 的解集;
(2)若 ( ) 1f x ≤ ,求 a的取值范围.
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2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参考答案
一、选择题
P
AO
C
BM
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1.D 2.A 3.B 4.B 5.A 6.A
7.B 8.C 9.C 10.A 11.C 12.D
二、填空题
13. 2y x 14.9 15. 12
16. 40 2π
三、解答题
17.解:
(1)设 { }na 的公差为 d,由题意得 13 3 15a d .
由 1 7a 得 d=2.
所以 { }na 的通项公式为 2 9na n .
(2)由( 1)得 2 28 ( 4) 16nS n n n .
所以当 n=4时, nS 取得最小值,最小值为 - 16.
18.解:
(1)利用模型①,该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为
? 30.4 13.5 19 226.1y (亿元 ).
利用模型②,该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为
? 99 17.5 9 256.5y (亿元 ).
(2)利用模型②得到的预测值更可靠.
理由如下:
(ⅰ)从折线图可以看出, 2000 年至 2016年的数据对应的点没有随机散布在直线
30.4 13.5y t上下.这说明利用 2000 年至 2016年的数据建立的线性模型①不能很好地
描述环境基础设施投资额的变化趋势. 2010年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增
加, 2010年至 2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从 2010年开始环境基
础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型
? 99 17.5y t可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势, 因此利用模
型②得到的预测值更可靠.
(ⅱ)从计算结果看,相对于 2016年的环境基础设施投资额 220 亿元,由模型①得到
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